सिद्ध कीजिए कि अवकल समीकरण $(x^{2}-y^{2}) dx + 2xy dy = 0$ एक समघातीय (homogeneous) समीकरण है और इसका हल ज्ञात कीजिए।

(N/A) दिया गया अवकल समीकरण है:
$(x^{2}-y^{2}) dx + 2xy dy = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-(x^{2}-y^{2})}{2xy} = F(x, y)$ ..............$(1)$
समघातीयता की जाँच करने के लिए,$F(\lambda x, \lambda y)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{-((\lambda x)^{2}-(\lambda y)^{2})}{2(\lambda x)(\lambda y)} = \frac{-\lambda^{2}(x^{2}-y^{2})}{\lambda^{2}(2xy)} = \lambda^{0} F(x, y)$
चूँकि $F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{0} F(x, y)$,अतः समीकरण समघातीय है।
हल करने के लिए,$y = vx$ प्रतिस्थापित करते हैं,जिससे $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ में मान रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{-(x^{2} - (vx)^{2})}{2x(vx)} = \frac{-(x^{2} - v^{2}x^{2})}{2vx^{2}} = \frac{v^{2}-1}{2v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v^{2}-1}{2v} - v = \frac{v^{2}-1-2v^{2}}{2v} = \frac{-(1+v^{2})}{2v}$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{2v}{1+v^{2}} dv = -\frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{2v}{1+v^{2}} dv = -\int \frac{1}{x} dx$
$\ln(1+v^{2}) = -\ln|x| + \ln|C| = \ln|\frac{C}{x}|$
$1+v^{2} = \frac{C}{x}$
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$1 + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{C}{x}$
$\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}} = \frac{C}{x}$
$x^{2}+y^{2} = Cx$